cours mathematique - Somme de deux vecteurs - Vecteurs colinéaires 1ere secondaire

cours mathematique - Somme de deux vecteurs - Vecteurs colinéaires 1ere secondaire

Qu'est-ce que la colinéarité ?

On dit que deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction

1. Somme de deux vecteurs

L'enchaînement d'une translation de vecteur u⃗ et d'une translation de vecteur v⃗ est une translation de vecteur u⃗ + v⃗. Ce vecteur u⃗ + v⃗ est appelé somme des vecteurs u⃗ et v⃗.

2. Relation de Chasles

                                                                                 →      →      →

A, B et C sont trois points du plan alors : AB + BC = AC.

3. Opposé d'un vecteur

Si un vecteur  u⃗ et un vecteur v⃗ ont la même direction, la même longueur et des sens opposés, on dit que ces vecteurs sont opposés et on note : u⃗ = −v⃗ et u⃗ + v⃗ = 0.⃗

4. Multiplication d'un vecteur par un réel

Soit λ un réel et u⃗ un vecteur. On désigne par λ. u⃗ 

le vecteur définie ainsi :

Cas 1 : u⃗ = 0⃗ ou λ = 0 alors λ. u⃗ = 0⃗.

Cas 2 : u⃗ ≠ 0⃗ et λ ≠ 0, si (A, B) est un représentant 

de u⃗ et (A, C) de λ. u⃗ = 0⃗ alors

C appartient à la droite (AB) et AC = |λ|. AB.

Propriétés :

Soient α, β deux réels et u⃗ et v⃗ deux vecteurs

* u⃗ + v⃗ = v⃗ + u⃗

* α(u⃗ + v) = α. u⃗ + α. v

* (α + β)u⃗ = α. u⃗ + β. u⃗

* α. u⃗ = 0⃗ signifie que α = 0 ou u⃗ = 0

Milieu d'un segment :

Si I est le milieu du segment [AB]

On peut écrire :

→        →      →     →

IA = −IB ou IA + IB = 0.

Et réciproquement :

→        →     →     →

Si

IA = −IB ou IA + IB = 0 alors I est le milieu du

 segment [AB].

Remarque :

A, B et C sont trois points non alignés :

→      →

* Si AB = CD alors ABCD est un parallélogramme 

(Attention à l'ordre des lettres).

→      →          →      →

*

 

Si AB = CD alors AC = BD.

4. Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls u⃗ et v⃗ sont colinéaires s'il 

existe un nombre réel k tel que

v⃗ = ku⃗ .

Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires si l'un

 est un multiple de l'autre.

Remarques : Puisque le vecteur v⃗ est non nul, alors

 le nombre réel k est forcément différent de 0.

A retenir : Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.