cours mathematique 1ere secondaire -Activités numériques I

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Division euclidienne dans N

Soient a et b deux entiers naturels où b > 0.

Il existe un couple unique d’entiers naturels (q,r) tels que :

a=bq+r et 0<r<b q est appelé le quotient , r le reste, a le

dividende et b le diviseur de la division euclidienne de a par b .

*) b divise a si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

Le PGCD de deux entiers naturels

Soient a et b deux entiers naturels non nuls.

Le PGCD de a et b  est le plus grand élément de l’ensemble des diviseurs communs aux deux entiers a et b . On note par PGCD(a , b)

Exemple : Calculer PGCD(a , b) avec a = 36 et b = 24

´ 1 2 4 1 1 2 4 3 3 6 12 9 9 18 36

a = 2² ´ 3²

                             

On a

et b = 3 ´ 2³

Alors D36= {1,2,3,4,6 ,9,12,18,36} et on a

´ 1 2 4 8 1 1 2 4 8 3 3 6 12 24

Alors D24 = {1,2,3,4,6 ,8,12,24}

Alors D24 ∩ D36 = {1,2,3,4 ,6 ,12} alors PGCD( 24 ,36 ) = 12

Détermination du PGCD(a,b) en utilisant l’algorithme d’Euclide :

a b r1 r2 r3 385 140 105 35 0 quotient ® 2 1 3

Exemple : Calculer PGCD( 385 ,140 )                                                                                         alors PGCD( 385 ,140 ) = 35

Le PPCM de deux entiers naturels

Soient a et b deux entiers naturels non nuls.  Le PPCM de a et b  est le plus petit commun multiple de a et b .  On note par : PPCM(a , b).

Remarque : lorsque le PGCD de deux nombres vaut 1, on dit que les deux nombres sont premiers entre eux.

FRACTION IRREDUCTIBLE

On dit qu'une fraction est irréductible lorsqu'elle est simplifiée au maximum (on ne peut plus la réduire…).

Méthode : pour rendre une fraction irréductible, on peut commencer par utiliser les critères de divisibilité. Ensuite, si l’on n’est pas certain d’avoir obtenu une fraction irréductible, on cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur et on simplifie la fraction par ce nombre. Comme c’est le plus grand diviseur commun, on est alors sûr d’avoir obtenu une fraction irréductible.

Exemple : on veut mettre sous forme irréductible la fraction

                       385

                     -----

                   140

On a PGCD( 385 ,140 ) = 35

alors  385  = 385  : 35  = 11

 

140      140 : 35        4

Le PPCM de deux entiers naturels

Soient a et b deux entiers naturels non nuls.  Le PPCM de a et b  est le plus petit commun multiple de a et b .  On note par : PPCM(a , b) .

Propriétés

Pour tout a Î N ^* , b Î N ^* : PGCD(a,b)´ PPCM (a,b) = ab

Valeur approchée

Soit p un entier, on dit que le nombre décimal a est une valeur approchée de b à 10 ^p près si :

a - 10 ^p £ b £ a + 10 ^p

Arrondi et troncature

Pour trouver l’arrondi d’un nombre. On conserve les chiffres jusqu’au rang indiqué. Ce dernier est alors l’arrondi si le chiffre suivant 0 , 1 ,2 , 3 ou 4. si non on lui ajoute 1.

Les troncatures et les arrondis sont des valeurs approchées des nombres